لغز فيرما

 

Fermat's Enigma لـ Simon Singh

1.  لغز رياضي دام 350 عامًا

يُعدُّ كتاب Fermat's Enigma (الصادر عام 1997) رحلةً عبر تاريخ أحد أشهر المسائل الرياضية: نظرية فيرما الأخيرة، التي تنص على:

"لا توجد حلول صحيحة للمعادلة $x^n+y^n=z^n$ عندما يكون $n>2$".
قضى المؤلف سيمون سينغ – وهو فيزيائي وصحفي علمي – سنواتٍ في توثيق قصة هذا اللغز، بدءًا من بيير دي فيرما في القرن الـ17 وحتى حله عام 1994 على يد أندرو وايلز .

---

2. الجذور التاريخية: من فيثاغورس إلى فيرما

• نظرية فيثاغورس:
  اكتشف الإغريق أن $x^2+y^2=z^2$ لها حلول لا نهائية (مثل $3^2+4^2=5^2$)، لكن عند رفع الأس لأكثر من 2، تصبح المعادلة مستعصية .

• بيير دي فيرما (1607–1665):
  وهو محامٍ هاوٍ للرياضيات، كتب في هامش نسخته من كتاب Arithmetica لديوفانتوس الإسكندري:
  "أملك برهانًا رائعًا لهذه الفرضية، لكن هذا الهامش ضيقٌ عن احتوائه" .

• مصير الكتاب:
  نُشرت ملاحظة فيرما بعد وفاته، لتصبح التحدي الأكبر لعلماء الرياضيات .

---

3. التحدي العلمي: لماذا كانت النظرية "مستحيلة"؟

• البرهان مقابل التجريب:
  في العلم، تكفي التجارب المتكررة لدعم فرضية (مثل: "كل البجع أبيض"). أما في الرياضيات، فيجب تقديم برهان مطلق يغطي كل الأعداد إلى ما لا نهاية، وهو ما جعل إثبات نظرية فيرما صعبًا رغم تأكيدها للأعداد حتى 4 ملايين .

• مفارقة أويلر:
  في القرن الـ18، افترض أويلر أن $x^4+y^4+z^4=w^4$ ليس لها حل، لكن في 1988، اكتشف نعوم إلكيس حلًّا ($2,682,{440}^4+\mathrm{.}\mathrm{.}\mathrm{.}=20,615,{673}^4$)، مما أثبت أن الاختبار التجريبي غير كافٍ .

جدول يلخص المحاولات التاريخية لحل النظرية:

العالم	العصر	الإنجاز
ليونهارت أويلر	القرن 18	أثبت النظرية لـ $n=3$
صوفي جيرمان	القرن 19	حلّت الحالة حيث $n$ عدد أولي "آمن" (مثل 5)
إرنست كومر	1847	كشف خطأ في برهان غابرييل لامي، وأثبت النظرية لـ $n$ "منتظم"

---

4. القصص الإنسانية: جنون، خيبات، وانتحار!

• جائزة وولفسكهل (1908):
  بعد أن أنقذته النظرية من الانتحار (إذ شغلته عن خطته بليلة كاملة)، أوصى الصناعي الألماني بول وولفسكهل بجائزة بقيمة 100,000 مارك ألماني (2 مليون دولار اليوم) لحلها. تلقى القائمون على الجائزة 621 "حلًّا" خاطئًا في العام الأول فقط .

• تأثير غودل:
  في 1931، أثبت كورت غودل أن بعض المسائل الرياضية قد تكون غير قابلة للبرهنة، مما أشعل التشكيك في إمكانية حل نظرية فيرما .

---

5. أندرو وايلز: الطفل الذي حلم بحل اللغز

• اكتشاف مبكر:
  في 1963، وَقعَ الطفل أندرو وايلز (10 سنوات) على كتاب The Last Problem في مكتبة كامبريدج، وقرر تكريس حياته للنظرية .

• العمل السري:
  بين 1986–1993، عمل وايلز بمفرده في علية منزله، متجنبًا المؤتمرات خوفًا من المنافسة. استند إلى فرضية تاناياما-شيمورا التي تربط المنحنيات الإهليلجية بـالأشكال النمطية (Modular Forms) .

• الكشف العلني:
  في 1993، أعلن وايلز حله في محاضرة تاريخية بجامعة كامبريدج، لكن ثغرةً في البرهان أجبرته على قضاء 14 شهرًا إضافيًا للإصلاح .

---

6. حجر الزاوية: فرضية تاناياما-شيمورا

لإثبات نظرية فيرما، استخدم وايلز نهجًا غير مباشر يركز على:

• المنحنيات الإهليلجية:
  معادلات بالصيغة $y^2=x^3+a{x}^2+bx+c$ (مثل $y^2=x^3-43x+166$).

• الأشكال النمطية:
  كيانات رياضية شديدة التناظر، تشبه الموجات الجيبية لكن بأبعاد أعلى .

• الرابط السحري:
  في 1955، افترض العالمان اليابانيان تاناياما وشيمورا أن "كل منحنى إهليلجي له شكل نمطي مرتبط به".
  أثبت وايلز هذه الفرضية لنوع خاص من المنحنيات، مما يعني استحالة وجود حلول لنظرية فيرما .

جدول يوضح تحويل نظرية فيرما إلى فرضية تاناياما-شيمورا:

الخطوة	الشرح
1. افتراض وجود حل:	لو افترضنا أن $a^n+b^n=c^n$ (حيث $n>2$)...
2. بناء المنحنى الإهليلجي:	... يصبح لدينا منحنى إهليلجي غريب: $y^2=x(x-a^n)(x+b^n)$
3. التناقض:	هذا المنحنى ليس له شكل نمطي مرتبط، مما يناقض فرضية تاناياما-شيمورا ⇒ فلا وجود للحل!

---

7. التأثير الثقافي: أكثر من مجرد نظرية!

• إصلاح قوانين التشهير:
  في 2008، رُفعت دعوى تشهير ضد سينغ نفسه من جمعية العلاج بتقويم العمود الفقري البريطانية بسبب مقاله Beware the Spinal Trap (المنشور في الغارديان)، لكنه انتصر بقضية أشعلت حملة لإصلاح قوانين التشهير في المملكة المتحدة .

• إلهام الأجيال:
  الكتاب يُدرس في جامعات كـكامبريدج وهارفارد كأنموذج لسرد القصص العلمية، وترجمته 22 لغة .

• التساؤل الأبدي:
  هل امتلك فيرما برهانًا حقيقيًا؟
  يعتقد معظم العلماء أن برهانه – لو وجد – كان ناقصًا، لأن الرياضيات اللازمة لحله (كالمنحنيات الإهليلجية) لم تُكتشف إلا بعد قرون .

---

8.  عندما يصبح العشق الرياضي تراثًا إنسانيًا

يختتم سينغ كتابه بالتأكيد على أن برهان وايلز لم يكن "نهاية" الرياضيات، بل فتح بابًا لمسائل أعمق:

• هل كل المنحنيات الإهليلجية نمطية؟ (تم إثبات ذلك بالكامل عام 2001).

• ما هي المسائل الأخرى التي قد تحل بدمج فروع الرياضيات؟
  أما الإرث الأكبر، فهو أن 350 عامًا من الإصرار علمت البشرية أن:

"البرهان الرياضي ليس مجرد سطر معادلات، بل هو قصة إنسانية من الشك، الجهد، والانتصار" .

---

9. لماذا يُعد هذا الكتاب مهمًّا؟

• الوضوح:
  يشرح سينغ مفاهيم معقدة (كـ"الفضاء المنتهي" و"الحساب الساعيّ") بلغة بسيطة، مع أمثلة مرئية.

• العمق التاريخي:
  يربط بين شخصيات منعزلة (كصوفي جيرمان التي تنكرت بذكر رجل لنشر أبحاثها)، ليكشف كيف تُبنى المعرفة جماعيًّا .

• البُعد الفلسفي:
  يناقش دور الجمال في الرياضيات – كتناظر الأشكال النمطية – الذي قاد وايلز للحل .

"فيرما الأنيق" لم يمت عام 1665، بل ظل حيًا في كل عالم رفض الاستسلام للاستحالة